形狀分析：優(yōu)化3D打印形狀的表現(xiàn)力

目前“大數(shù)據(jù)”、“3D數(shù)字化”、“人工智能AI”、“深度學(xué)習(xí)”、“AR/VR”是數(shù)字智能領(lǐng)域的熱點(diǎn)研究方向 ，層出不窮的新概念讓一般人看的眼花繚亂。其實(shí)，“萬變不離其宗”！以下內(nèi)容摘自吳懷宇博士2017年新出版的《3D打�。喝�維智能數(shù)字化創(chuàng)造》（第3版）一書，作者吳懷宇（中科院博士、北大博士后）為中國3D科技產(chǎn)業(yè)聯(lián)盟副理事長。

【形狀分析：優(yōu)化3D打印形狀的表現(xiàn)力】

首先我們來觀看著名的克拉尼金屬板（Chladni plates）實(shí)驗(yàn)，如圖6-40所示。18世紀(jì)，德國物理學(xué)家及音樂家克拉尼在薄的金屬板上撒上均勻的細(xì)沙，然后拉起小提琴。在聲音的振動(dòng)下，這些細(xì)沙開始“跳舞”，并從一些地方向另一些地方聚集（形成駐波），并最終形成各種對稱的圖案�？死�尼發(fā)現(xiàn)不同頻率的聲波會(huì)形成不同的圖案，且頻率越高則形成的圖案越復(fù)雜！

圖6-40  克拉尼金屬板（Chladni plates）實(shí)驗(yàn) （圖片來源：The Whipple Museum）

提示：      
其實(shí)這種現(xiàn)象早在我國先秦時(shí)代就有發(fā)現(xiàn)和利用。當(dāng)時(shí)有一種稱之為“魚洗”的盥洗用具，形似現(xiàn)在的臉盆，如圖6-41所示。盆沿左右各有一個(gè)把柄，稱為雙耳；盆底裝飾有魚紋的，故稱“魚洗”。魚洗奇妙的地方是，用手快速有節(jié)奏地摩擦盆邊兩耳，盆會(huì)像受擊撞一樣振動(dòng)起來，盆內(nèi)水波蕩漾。摩擦得法，可噴出水柱。具體地，在盆內(nèi)注半盆水，用雙手輕搓兩個(gè)把柄，利用手與把柄之間的摩擦使把柄開始嗡嗡振動(dòng)。同時(shí)把柄的振動(dòng)在水面上傳播，并與盆壁反射回來的反射波疊加形成二維橫駐波。當(dāng)振動(dòng)頻率接近盆的固有頻率時(shí)，就會(huì)發(fā)生共振，此時(shí)便有水花從水面上噴射出來。

圖6-41  我國古代“魚洗”形成的駐波和共振現(xiàn)象（圖片來源：Microfotos、iyaya.com）

由此我們知道：聲音原來是“有形狀的”！其實(shí)很早以前，古埃及人就把幾何叫作“凍結(jié)的音樂”，他們用幾何學(xué)來記錄樂譜。甚至有人大膽地猜測：通過聽鼓發(fā)出的聲音頻率，能猜出鼓的形狀。（“Can one hear the Shape of a Drum?”）。雖然答案是“并不能完全對應(yīng)”（存在著不唯一性），但至少可以看出：形狀和頻率有著極其緊密的聯(lián)系。
非常類似于二維平板上的克拉尼圖案，在3D形狀上不同頻率也對應(yīng)于不同的條紋分布，如圖6-42所示的層層疊疊的葉狀結(jié)構(gòu)（Foliation）。同樣，頻率越高，則條紋的分布情況也越復(fù)雜（從左到右）。此外，我們還可發(fā)現(xiàn)，這些頻譜條紋像是“理解了”整個(gè)形狀似的，不僅隨著整體形狀的走勢有規(guī)律地自然延展、一點(diǎn)兒也不錯(cuò)綜雜亂，而且在形狀對稱的地方也呈現(xiàn)出對稱的形態(tài)（見左腿和右腿區(qū)域的條紋）。我們將定義在任意流形形狀的這種頻譜分布稱之為流形調(diào)和（Manifold Harmonics）[33]。如果將每一根條紋視為一條流線，則整個(gè)形狀可視為一個(gè)流場，所謂Harmonic（調(diào)和、和諧）即指該流場沒有漩渦（旋量為0）、沒有源或匯（散度為0），使得調(diào)和能量達(dá)到極小，形成了最穩(wěn)定自然的流場。

圖6-42  3D形狀上的頻譜條紋（圖片來源：Bruno Lévy）

提示：
流形調(diào)和是定義在任意流形曲面上的Laplace-Beltrami微分算子的特征函數(shù)（Eigenfunction），其將二維平面上的離散傅立葉變換和球面上的球調(diào)和函數(shù)擴(kuò)展到了三維離散曲面。
我們知道，函數(shù)的Laplace（拉普拉斯）算子定義為它的梯度的散度，即 。Laplace-Beltrami微分算子則是規(guī)則域上Laplace算子在流形曲面（非規(guī)則域）上的推廣，即：       。
Laplace-Beltrami微分算子的特征模態(tài)（包括特征函數(shù)和特征值）滿足Helmholtz波動(dòng)方程：，其中標(biāo)量稱為所對應(yīng)的特征值（Eigenvalue，由于其可以唯一標(biāo)識形狀的特性在有的文獻(xiàn)里也被稱為形狀DNA），解稱為對應(yīng)于的特征函數(shù)。上式經(jīng)過離散化后，可得特征值和特征函數(shù)對，其滿足。通過流形調(diào)和變換（Manifold Harmonic Transformation，MHT），原本的空（間）域坐標(biāo)就可被轉(zhuǎn)換成頻（譜）域坐標(biāo)，即。

如果我們進(jìn)一步研究，還可以發(fā)現(xiàn)一個(gè)更有趣的現(xiàn)象。如圖6-43所示，我們把圖中的條紋圖變成更精細(xì)的彩色圖（由于排版原因，這里只取前3個(gè)頻率分量）。本圖中實(shí)際上有兩個(gè)3D模型，其中下方的模型是對上方的3D模型做了一個(gè)細(xì)節(jié)保持的形變（參見本章6.2.3節(jié)），也就是局部形狀細(xì)節(jié)是剛性保持的、等長不變的（Isometry Invariant）。請仔細(xì)觀察，可以發(fā)現(xiàn)：形變前后的這兩個(gè)模型的頻譜分布是非常相似的、幾乎可以說是等同的！這個(gè)有用的性質(zhì)可用于3D模型的檢索（參見本章6.4.3節(jié)），以確保將形變前后的形狀歸類為同一個(gè)形狀。

圖6-43  形變前后的形狀頻譜分布保持相似

再舉一個(gè)3D形狀的例子，如圖6-44所示。圖（a）顯示了原始的3D形狀，圖（b）顯示了只保留形狀低頻部分的光滑效果（使用低通濾波函數(shù)），圖（c）顯示了只保留高頻部分的細(xì)節(jié)增強(qiáng)效果（使用高通濾波函數(shù)），圖（d）顯示了對某些頻帶進(jìn)行特別處理后的夸張效果（使用帶通濾波函數(shù)）。

圖6-44  3D形狀的濾波

三維模型頻譜分析的思路和傅里葉變換、小波變換類似，都是把數(shù)據(jù)從一個(gè)空間（空域）變換到另一個(gè)空間（頻域）。拉普拉斯矩陣是變換的核心，提取出的特征向量和特征值包含了大量關(guān)于三維模型的豐富信息。同時(shí)，拉普拉斯矩陣是一個(gè)對稱矩陣，特征向量都是正交的。它的第一個(gè)特征向量為常數(shù)，歸一化后為，相對應(yīng)的特征值為0（即最小特征值）。如果在這個(gè)三維模型的拉普拉斯矩陣的所有特征值中有個(gè)特征值都為0，那么就可以判斷這個(gè)三維模型含有個(gè)互不連通（孤立）的子模型。拉普拉斯矩陣的第二小特征值（即最小的非零特征值）對應(yīng)的特征向量稱為菲德爾（Fiedler）向量。

菲德爾向量也是一個(gè)特殊的向量，具有很多的應(yīng)用，如用于三維模型的分割。此外，菲德勒向量不僅僅是矩陣的最小非零特征向量，而且還是和矩陣相關(guān)的優(yōu)化問題的最小值，因此還可被用于數(shù)值優(yōu)化問題的求解，比如菲德爾向量是瑞利商（Rayleigh quotient）函數(shù)的最小值。利用菲德爾向量的這個(gè)特性，就可將一個(gè)二次形式具有限制條件的優(yōu)化問題等價(jià)為一個(gè)相應(yīng)的特征向量問題，即可通過求解特征向量的方法得到最優(yōu)解。除了菲德爾向量，其他特征向量也具有一些可以描述三維模型信息和特點(diǎn)的結(jié)構(gòu)。對于一個(gè)特征向量來說，這些元素中值為零的元素的集合稱為是節(jié)點(diǎn)集合（Nodal Set）。這些值為零的元素是分段連接的，這些節(jié)點(diǎn)集合把整個(gè)三維模型分割為幾個(gè)區(qū)域，稱為是節(jié)點(diǎn)域（Nodal Domains），并滿足節(jié)點(diǎn)區(qū)域有如下定理（Courant's Nodal Domain Theorem）：如果把拉普拉斯矩陣的特征值從小到大排列，那么第個(gè)特征向量最多有個(gè)節(jié)點(diǎn)區(qū)域。注意此定理僅僅指出每個(gè)特征向量節(jié)點(diǎn)區(qū)域的上限，并不能得到節(jié)點(diǎn)區(qū)域具體的數(shù)值。
此外，利用頻譜我們還可以對形狀的表現(xiàn)力做一個(gè)層次化的展示。如圖6-45所示，從左到右分別對應(yīng)一個(gè)3D頭像的低頻和高頻部分�？梢钥闯�，形狀的低頻部分看起來非常平滑，但缺乏細(xì)節(jié)；而形狀的高頻部分則細(xì)節(jié)豐富、立體感強(qiáng)。值得注意的是，三維模型的各個(gè)特征向量并不都是平等重要的，三維模型的大部分信息都包含少數(shù)的較小特征值所對應(yīng)的特征向量上，越往后的特征向量對三維模型信息的貢獻(xiàn)所占比例越少。例如，一個(gè)具有幾千個(gè)頂點(diǎn)的3D模型，其實(shí)用前面幾百個(gè)特征向量就可以真實(shí)地重建（即Inverse MHT：流形調(diào)和逆變換，將頻譜域坐標(biāo)變回原本的空間域坐標(biāo)）出來了，其他更多的特征向量由于包括信息量太少都可被舍棄掉。

圖6-45  基于頻譜的形狀細(xì)節(jié)層次化展示

我們知道，當(dāng)前3D打印的主要矛盾在于有限的打印設(shè)備精度和用戶期待的理想打印結(jié)果之間存在著較大的差距。而通過對3D數(shù)字形狀進(jìn)行智能分析將有效地緩解這一矛盾。比如通過頻譜分析，可對3D形狀的頻域特征空間進(jìn)行智能化處理，優(yōu)化生成最匹配于當(dāng)前打印機(jī)精度的3D數(shù)字化模型（如選用圖中的某個(gè)中間狀態(tài)的3D頭像模型）。

提示：
除了形狀頻譜，我們還有一種更廣泛意義的理論用于形狀分析：莫斯函數(shù)（Morse Function）。莫斯函數(shù)的定義非常簡單，給每個(gè)頂點(diǎn)賦一個(gè)值，所有這些值的集合可被稱為三維模型上定義的一個(gè)函數(shù)。只要這個(gè)函數(shù)滿足每對相鄰頂點(diǎn)的值都不同，那么這個(gè)函數(shù)就是莫斯函數(shù)�？梢钥闯觯�在給定的三維模型上可定義無數(shù)個(gè)莫斯函數(shù)，比如每個(gè)頂點(diǎn)的X坐標(biāo)、Y坐標(biāo)、Z坐標(biāo)，或者cosX、sinX等等都可作為函數(shù)值。并且可以看出，如果把特征向量作為莫斯函數(shù)的變量，就等同于前面的流形調(diào)和。
給定了莫斯函數(shù)后，3D模型上每個(gè)點(diǎn)都有一個(gè)值，將其與周圍鄰接點(diǎn)的值相比較，可以得到關(guān)鍵點(diǎn)（Critical Point），包括：最大值點(diǎn)（Maximum）、最小值點(diǎn)（Minimum）和馬鞍點(diǎn)（Saddle），數(shù)學(xué)含義可參考第10章第10.1.1節(jié)。根據(jù)這些關(guān)鍵點(diǎn)，可對3D網(wǎng)格模型進(jìn)行劃分（關(guān)鍵點(diǎn)之間用積分線連接起來）成四邊形網(wǎng)格（每個(gè)四邊形通常由2個(gè)對角的馬鞍點(diǎn)、以及1個(gè)最大值點(diǎn)和1個(gè)最小值點(diǎn)組成），就構(gòu)成了所謂的莫斯復(fù)形（Morse Complex），如圖6-46上邊所示，其可用于規(guī)則四邊形細(xì)分網(wǎng)格的生成。

雖然給定的3D模型有無數(shù)個(gè)莫斯函數(shù)，但它們的關(guān)鍵點(diǎn)個(gè)數(shù)不是任意的，需滿足莫斯定理，該定理確定了莫斯函數(shù)的關(guān)鍵點(diǎn)和歐拉示性數(shù)（見6.4.3節(jié)）之間的關(guān)系：

即歐拉示性數(shù)＝最大值點(diǎn)數(shù)＋最小值點(diǎn)數(shù)－馬鞍點(diǎn)數(shù)。可看出，莫斯函數(shù)與3D模型的全局拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)有關(guān)，即便莫斯函數(shù)局部上可以隨意給定每個(gè)頂點(diǎn)的數(shù)值，全局上還是要受到3D模型拓?fù)洌�歐拉示性數(shù)）的限制。
如果需要進(jìn)一步對關(guān)鍵點(diǎn)的分布、數(shù)量進(jìn)行精確控制，這時(shí)可用到調(diào)和函數(shù)（Harmonic Function）。該函數(shù)可手工設(shè)置最大值點(diǎn)和最小值點(diǎn)，然后通過求解線性方程得到一個(gè)莫斯函數(shù)。根據(jù)莫斯定理，極值點(diǎn)的數(shù)量確定了，馬鞍點(diǎn)的數(shù)量也是確定的（不過調(diào)和函數(shù)無法精確控制馬鞍點(diǎn)的位置）。調(diào)和函數(shù)的定義：
   
其中L為拉普拉斯矩陣，X是待求解的未知調(diào)和函數(shù)，F(xiàn)是一個(gè)向量用于手工指定極值點(diǎn)（比如指定3個(gè)最大值點(diǎn)和2個(gè)最小值點(diǎn)）。如圖6-46下邊所示，我們了指定1個(gè)極大值點(diǎn)（數(shù)值設(shè)置為1.0，位于左邊樹杈的頂點(diǎn)）和1個(gè)極小值點(diǎn)（數(shù)值設(shè)置為0.0，位于中間樹干的底部），則求得的調(diào)和函數(shù)值為0.0-1.0之間。

圖6-46  上邊：莫斯復(fù)形用于規(guī)則四邊形細(xì)分網(wǎng)格的生成； 下邊：調(diào)和函數(shù)（圖片來源：[179,180]）

前面介紹的都是靜態(tài)的形狀分析，實(shí)際上能夠運(yùn)動(dòng)的形狀更加具有表現(xiàn)力和吸引力。迪斯尼公司的研究團(tuán)隊(duì)近年來在這方面做了大量的工作。如圖6-47所示，他們展示了一款新型3D設(shè)計(jì)軟件DefSense[187]，通過模擬3D模型的實(shí)際形變，并在模型內(nèi)部放入壓阻式傳感器來感知柔性材料3D打印出來后形狀的各種彎曲，比如是彎折、扭曲，還是拉伸。這項(xiàng)技術(shù)一旦成熟就能應(yīng)用到許多方面，比如游戲控制器、電子樂器、3D形象動(dòng)畫，以及極具發(fā)展?jié)摿Φ娜藱C(jī)交互（HCI）。

圖6-47  感知自身形變的3D打印物體（圖片來源：[187]）

迪斯尼研發(fā)團(tuán)隊(duì)還開發(fā)出智能交互設(shè)計(jì)軟件以自動(dòng)生成可3D打印機(jī)器人[188]和動(dòng)畫角色模仿機(jī)器人[189]，如圖6-48所示。給定由關(guān)節(jié)連接而成的機(jī)器人骨骼結(jié)構(gòu)，每個(gè)關(guān)節(jié)中都會(huì)放入一個(gè)虛擬的單軸馬達(dá)，軟件能夠?qū)⒃O(shè)計(jì)過程中的繁瑣部分自動(dòng)化，基于模型預(yù)測控制（MPC）來保持身體不同部位之間運(yùn)動(dòng)的高度協(xié)調(diào)，而不會(huì)影響形態(tài)、比例、步態(tài)和運(yùn)動(dòng)。一旦設(shè)計(jì)完成，軟件就會(huì)生成包括電子元件連接裝置在內(nèi)的完整身體3D幾何結(jié)構(gòu)，該結(jié)構(gòu)可自行3D打印，并用螺釘直接與伺服電機(jī)相連。在團(tuán)隊(duì)的另一項(xiàng)研究工作中[189]，為了能夠?qū)⑸鷦?dòng)有趣的動(dòng)畫形象帶到現(xiàn)實(shí)中，團(tuán)隊(duì)利用3D打印技術(shù)制造了動(dòng)畫角色模仿機(jī)器人。為了看上去更加生動(dòng)，機(jī)器人不僅需要類似于動(dòng)畫角色的外形，要重要的是能夠?qū)��?dòng)畫角色的各種夸張行為模式進(jìn)行高度模仿。

圖6-48  交互設(shè)計(jì)可3D打印機(jī)器人與動(dòng)畫角色模仿機(jī)器人（圖片來源：[188]、[189]）

來源：三體智訊